Null Controllability of Semi-Linear Differential Systems of NonLocal Initial Conditions with Distributed Delays in the Control in Banach Spaces

Abstract

In this work, a Semi linear Differential System of Non Local Initial Conditions with Distributed Delays in the Control in Banach spaces of the form ð‘¥1(ð‘¡)= ð´ð‘¥(ð‘¡)+ð‘“(ð‘¡,ð‘¥(ð‘¡))+∫[ð‘‘ðœƒð»(ð‘¡,ðœƒ)]0−ℎð‘¢(ð‘¡+ðœƒ) ð‘¥(0)+ð‘”(ð‘¥)=ð‘¥0 ð‘–ð‘  ð‘ð‘Ÿð‘’ð‘ ð‘’ð‘›ð‘¡ð‘’ð‘‘ ð‘“ð‘œð‘Ÿ ð‘ð‘œð‘›ð‘¡ð‘Ÿð‘œð‘™ð‘™ð‘Žð‘ð‘–ð‘™ð‘–ð‘¡ð‘¦ ð‘Žð‘›ð‘Žð‘™ð‘¦ð‘ ð‘–ð‘ .Necessary and Sufficient Conditions for the System to be null controllable are established .ð‘ˆð‘ ð‘’ ð‘–ð‘  ð‘šð‘Žð‘‘ð‘’ ð‘œð‘“ ð‘¡â„Žð‘’ ð‘ˆð‘›ð‘ ð‘¦ð‘šð‘šð‘’ð‘¡ð‘Ÿð‘–ð‘ ð¹ð‘¢ð‘ð‘–ð‘›ð‘– ð‘¡â„Žð‘’ð‘œð‘Ÿð‘’ð‘š ð‘Žð‘›ð‘‘ ð‘†ð‘â„Žð‘Žð‘¢ð‘‘ð‘’ð‘Ÿð‘ â€² ð‘“ð‘–ð‘¥ð‘’ð‘‘ ð‘ð‘œð‘–ð‘›ð‘¡ ð‘¡â„Žð‘’ð‘œð‘Ÿð‘’ð‘š ð‘¡ð‘œ ð‘’ð‘¡ð‘Žð‘ð‘™ð‘–ð‘ â„Ž ð‘Ÿð‘’ð‘ ð‘¢ð‘™ð‘¡ð‘  .ð¶ð‘œð‘›ð‘‘ð‘–ð‘¡ð‘–ð‘œð‘›ð‘  ð‘Žð‘Ÿð‘’ ð‘Žð‘™ð‘ ð‘œ ð‘ð‘™ð‘Žð‘ð‘’ð‘‘ ð‘œð‘› ð‘¡â„Žð‘’ ð‘ð‘’ð‘Ÿð‘¡ð‘¢ð‘Ÿð‘ð‘Žð‘¡ð‘–ð‘œð‘› ð‘“ ð‘¤â„Žð‘–ð‘â„Ž ð‘”ð‘¢ð‘Žð‘Ÿð‘Žð‘¡ð‘’ð‘’ ð‘¡â„Žð‘Žð‘¡ ð‘–ð‘“ ð‘¡â„Žð‘’ ð‘™ð‘–ð‘›ð‘’ð‘Žð‘Ÿ ð‘ð‘œð‘›ð‘¡ð‘Ÿð‘œð‘™ ð‘ð‘Žð‘ ð‘’ ð‘ ð‘¦ð‘ ð‘¡ð‘’ð‘š ð‘–ð‘  ð‘ð‘Ÿð‘œð‘ð‘’ð‘Ÿ ð‘Žð‘›ð‘‘ ð‘–ð‘“ ð‘¡â„Žð‘’ ð‘¢ð‘›ð‘ð‘œð‘¡ð‘Ÿð‘œð‘™ð‘™ð‘’ð‘‘ ð‘™ð‘–ð‘›ð‘’ð‘Žð‘Ÿ ð‘ ð‘¦ð‘ ð‘¡ð‘’ð‘š ð‘–ð‘  ð‘¢ð‘›ð‘–ð‘“ð‘œð‘Ÿð‘šð‘™ð‘¦ ð‘Žð‘ ð‘¦ð‘šð‘ð‘¡ð‘œð‘¡ð‘–ð‘ð‘Žð‘™ð‘™ð‘¦ ð‘ ð‘¡ð‘Žð‘ð‘™ð‘’,ð‘¡â„Žð‘’ð‘› ð‘¡â„Žð‘’ ð‘†ð‘’ð‘šð‘–ð‘™ð‘–ð‘›ð‘’ð‘Žð‘Ÿ ð·ð‘–ð‘“ð‘“ð‘’ð‘Ÿð‘’ð‘›ð‘¡ð‘–ð‘Žð‘™ ð‘†ð‘¦ð‘ ð‘¡ð‘’ð‘š ð‘–ð‘  ð‘›ð‘¢ð‘™ð‘™ð‘ð‘œð‘›ð‘¡ð‘Ÿð‘œð‘™ð‘™ð‘Žð‘ð‘™ð‘’ ð‘¤ð‘–ð‘¡â„Ž ð‘ð‘œð‘›ð‘ ð‘¡ð‘Ÿð‘Žð‘–ð‘›ð‘¡ð‘  .